你發現了一個很好的問題

首先，Hermitian operator 確實是以 Hermitian matrix 來表示

這可以在線性代數和一些量子力學的書中找到

而且，你所舉的例子 B 也是個 Hermitian matrix，只是B* =\= B

我之前讀的時候，書中語意上都說：

"The Hermitian adjoint of an operator is generally not
 equal to its complex conjugate"

而你亦找出最常見的例子：momentum operator

那問題是出在哪裡？

問題是出在於寫式子時因混用 dagger 與 complex conjugate 所造成誤會與誤用

舉例：
                                   +        +           +      +
<β|A|α> = <β|．(A|α>) = [(<α|A )．|β>] = <α|A|β> ; if A = A

而書上都直接寫 * (complex conjugate) 而不是 + (dagger)

若以式子來看，寫成 complex conjugate 是不嚴謹的，

因為 operator、bra、ket 都沒有轉置

而這個式子勉強可以成立的原因是

當我們求一個 operator 在 basis {|Ψ>} 中的 matrix element 時

<Ψm|A|Ψn> = <Ψn|A|Ψm>* = Amn*．δnm (δnm = δmn = 1 or 0 )

是指單一一個 matrix element Amn 而言

亦即我們只是利用這個式子來求出矩陣元素的值

而它們的位置是靠 δnm 來判斷

故以上式來計算單一矩陣元素時，不需使用到轉置
                                                　　　　　
我想大部分人可能是因為受到書上 <β|A|α> = <α|A|β>* 這個式子所混淆
                            +    *
加上許多 operator 確實存在 A  = A  這個特性

所以普遍以為對 operator 而言，Hermitain adjoint = complex comjugate

結論：
１．Hermitian operator 是以 Hermitian matrix 來表示，即使不在 eigenbasis 中
２．對 operator 而言，Hermitian "不一定等於" complex comjugate


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