※ 引述《koos (家欣)》之銘言：
: [領域]電磁學                             (題目相關領域)
: [來源]David K. Cheng 2ed. 第148頁 第23題 (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]Determine the electric field intensity at the center of
:  a small spherical cavity cut out of a large block of dielectric
:  in which a polarization P exists.
: [瓶頸]                             (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
: 看題目好像是在一個很大很大的介電質裡挖了一個球形的腔，
: 然後問中心的電場是多少。
: 我的想法是在球裡取高斯面，內部自由電荷為0
: 所以電位移D應為0。
: 又D=(ε0)E+P
: 得E=-P/(ε0)
: 請問這個想法錯在哪裡呢？

介電體離遠離空洞感覺不到洞的作用，所以電場是：
E0_r = (P/χ)cos(θ)
E0_θ = -(P/χ)sin(θ)
(假設P是z方向，以洞球心�d原點)

除了空心的邊緣以外其它地方電勢必須符合Laplace:
▽^2 φ = 0
因�dz鈾圓柱堆成，解是：
空心內(不取r的負次方，因�dr=0是正常點)
φ1= a1 r cos(θ) + ...
介電體內(r的正次方只取到一次方,因�d遠方電場�d常數)：
φ2= b0/r + (A r + b1/r^2) cos(θ) + ...

可以用E=-▽φ來算出各處的電場。

洞內：
Er = -a1 cos(θ) + ...
Eθ= a1 sin(θ) + ...

洞外：
Er = b0/r^2 - (A-2b1/r^3)cos(θ) + ...
Eθ=(b1/r^3+A)sin(θ) + ...

遠離空心(r->無限大)介電體裏面的電場符合上面的電場。
在r到無限大的極限，外圍電場只剩下有A的項，算得A值：
A = -E0 = -P/χ

然後在空心邊緣(r=r0), E_θ連續,ε0 E_r(空心內)= ε E_r（介電體)
結果是大部分的a_l 和 b_l都等于0，除了：

a1 = 3 E0ε/(2ε+ε0)
b1 = 2 E0 r0^3(ε-ε0)/(2ε+ε0)

把A,a1,b1帶進上面電場的公式就是答案(b0=0)

之前提出在常數P場上減一個點電荷的場應該是不對的，因�d這樣球中心電場會是無限大。
而且因�d材料內部本身就有單一方嚮的電場，挖洞以後洞的表面上的bound charge分布不會是均勻的，所以�{生電場不是球狀電荷的電場！

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