[(▽^2)+k^2]U(r)=0, 此處的 ▽^2  = (d^2)/dx^2 + (d^2)/dy^2 + (d^2)/dz^2

定義                       ▽t^2 = (d^2)/dx^2 +(d^2)/dy^2

   [(▽^2)+k^2] * U(r) = 0

=> [(▽^2)+k^2] * A(r)exp(-ikz) = 0

=> [ ▽t^2 + (d^2)/dz^2 + k^2 ] * A(r)exp(-ikz) = 0

=> ▽t^2 * A(r)exp(-ikz) + k^2 * A(r)exp(-ikz) +

   (d^2)/dz^2 * A(r)exp(-ikz)  = 0

見註1
 ▽t^2 * A(r)exp(-ikz) + k^2 * A(r)exp(-ikz) +
 { -i2k * dA/dz + d^2/dz^2 - k^2 * A } * exp(-ikz)    <----------------|
 = 0                                                                   |
                                                                       |
 ▽t^2 * A(r) + k^2 * A(r) - i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A - k^2 * A = 0  |                                                               |
 ▽t^2 * A(r) - i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A = 0                         |
                                                                       |
 (對不起  我只會算數學..d^2/dz^2項 消不掉..Orz)                        |
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註1                                                                    |
                                                                       |
d/dz * A(r)exp(-ikz) = exp(-ikz) * dA/dz + A * (-ik) * exp(-ikz)       |
                                                                       |
(d^2)/dz^2 * A(r)exp(-ikz)                                             |
= d/dz [d/dz * A(r)exp(-ikz)]                                          |
= (-ik) * exp(-ikz) * dA/dz + exp(-ikz) * (d^2)/dz^2 +                 |
  dA/dz * (-ik) * exp(-ikz) + A * (-ik) * (-ik) * exp(-ikz)            |
= { -i2k * dA/dz + d^2/dz^2 * A - k^2 * A } * exp(-ikz)   -------------|

※ 引述《bigbvd2001 (重新開始)》之銘言：
: 小弟有疑惑的地方是在
: Paraxial Helmholtz equation
: (▽^2)A-i2k(dA/dz)=0
: (附註:(dA/dz)是A對z偏微分，此處的▽=(d^2)/dx^2 +(d^2)/dy^2)
: 課本上說導証的方法是利用paraxial wave:U(r)=A(r)exp(-ikz)
: 將其帶入Helmholtz equation :[(▽^2)+k^2]U(r)=0
: 並藉由(dA/dz)<<kA   以及 [(d^2)A]/dz^2 <<k^A
: 可以得到Paraxial Helmholtz equation
: 可是我怎麼算都只能求得(▽^2)A+2(k^2)A=0
: 麻煩各位幫忙解惑，感激不盡!!

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你是風兒我是沙,  你是哈密我是瓜,
你是牙膏我是刷,  你不愛我我自殺.
我有一首無名詩,  走遍天下無人知,
只有笨蛋和我知,  笨蛋正在看此詩

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