※ 引述《shmily000 (愛雪兒)》之銘言：
: [領域]  高中物理電流                           (題目相關領域)
: [來源]  參考書                           (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]  如下
: [瓶頸]  完全不懂                           (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
:           [_]_]_]_]  正方形無限大扁平導線網路
:           [_]_]_]_]  每兩個相鄰交點間的金屬絲電阻都等於 r
:           [_]_]_]_]  試証相鄰兩點接入電路時
:           [_]_]_]_]  等效電路大小為 r/2
:           [_]_]_]_]

關鍵在於"無窮"與電路的"線性加成"特性

一、無窮的特性

    假設我們在某兩點接上電源,會某種電流分佈狀態,那麼我們再任意取相鄰兩點,相對於
該兩點也會出現同樣的電流分佈.

二、電路的線性加成

    對一複雜電路而言,在A處加上電動勢A,可在C處得到電流Ic
                     在B處加上電動勢B,可在C處得到電流Jc

    則若在A處與B處同時加上電動勢A與電動勢B,可在C處得到電流 Ic + Jc (向量和)

三、假設

    接著我們假設與定義在該兩點附近一格的電流代號及其方向

      ↓J1    ↑I1
  K1      K0      K2
  →  ※  ←  ◎  →  (這個叫做電路A)

      ↑J2    ↓I2

    另外假設全系統的電阻為R'

四、Operations

    1.現在我們將下圖所示四個相鄰點都接上電源

      ∣      ∣

  —  ※  —  ◎  —

      ∣      ↓L1    則 L1 = I2 - I1 = 0 => I1 = I2 --- (eq.1)

  —  ※  —  ◎  —  同理可證 J1 = J2 ,更遠的格子也可用同樣的方法證明,但用不到

      ∣      ∣

    2.接著再如下圖接電

      ｜      ｜      ｜

  —  ※  —  ◎  —  ‧  —

      ｜      ↓L2    ｜      則 L2 = I1 + J1 = V/R = K0

  —  ‧  —  ※  —  ◎  —     => J1 = K0 - I1 --- (eq.2)

      ｜      ｜      ｜

    3.最後再如下接電

      ｜      ｜      ｜      ｜
                  L3
  —  ※  —  ◎  →  ※  —  ◎  —

      ｜      ｜      ｜      ｜


      這裡出現一個很重要的keypoint,乍看起來這相當於兩組電路A,半實際上是三組!
      即最左邊的兩個,中間的兩個(鏡像),最右邊的兩個

      故 L3 = K2 - K0  + K1 = V/R = K0

         => K2 = -K1 --- (eq.3)

五、解方程式

    最後我們還有一個 eq.4 , 那就是從流出◎的總電流 = 流入※的總電流

    => 2I1 + K0 + K2 = 2J1 + K0 + K1 --- (eq.4)

    將 eq.2 & eq.3 代入 eq.4 得到:

    2I1 + K0 + K2 =  2K0 - 2I1 + K0 - K2

    整理得 4I1 + 2K2 = 2K0 , 兩邊同加上 2K0,在全式除以 2

        => 2I1 + K2 + K0 = 2K0 , 左邊正是流出◎的總電流!(也等於流入※的總電流)

    所以我們就知道電路A這樣的配置,對整個系統而言能通過2K0的電流,即 2K0*R' = V

    又 K0 = V/R ,代入上式得 2K0*R' = K0*R => R' = 0.5R --- 得證!


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◆ From: 59.117.201.85
※ 編輯: twowater        來自: 59.117.201.85        (04/06 22:17)
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