Γ(z)Γ(1-z) = π/sin(zπ)

推 mouwat:beta?複變?                                               02/24 21:51
推 Linderman:推樓上,應數是變成beta函數在變數變換再做複變積分       02/24 22:23

  Γ(z)Γ(1-z)

= Γ(z)Γ(1-z)/Γ(z + 1 - z)

= β(z,1-z)

   1  z-1       (1-z)-1                 y                 1
= ∫ x   (1 - x)       dx  ( let x = ──── , dx = ───── dy )
   0                                  y + 1          (y + 1)^2
          z-1
   ∞    y
= ∫   ───  dy
    0  1 + y

            z
   ∞      y
= ∫   ───── dy
    0  y (1 + y)

( 請參考 residue theory 中的 integrands with branch points)

                                z
        2πi                   y
=  ─────── Residue[ ───── , - 1 ]
   1 - e^(iz2π)           y (1 + y)

                                    z
        2πi               (1 + y) y
=  ───────  lim   [ ───── ]
   1 - e^(iz2π)  y→ -1   y (1 + y)

                            z
        2πi               y
=  ───────  lim   [ ─ ]
   1 - e^(iz2π)  y→ -1   y

                              z
        2πi                 y
=  ───────  lim     [ ─ ]
   1 - e^(iz2π)  y→e^iπ   y

                    izπ
        2πi       e
=  ─────── ───
   1 - e^(iz2π)   e^iπ

                     izπ
         2πi       e
=  ─────── ───
   1 - e^(iz2π)   (-1)

         2πi      izπ
=  ─────── e
   e^(iz2π) - 1

           2πi
=  ──────────
   e^(izπ) - e^(-izπ)

              π
=  ─────────────
    [e^(izπ) - e^(-izπ)]/2i

      π
= ─────
   sin(zπ)  #

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※ 編輯: Frobenius       來自: 140.122.225.109      (02/24 23:23)
推 Linderman:推F大也太認真唸書和po文了吧@_@                        02/24 23:20