※ 引述《uname.bbs@bbs.wretch.cc (人蔘如夢)》之銘言：
: > 發信人: elder.bbs@micro.bio.ncue.edu.tw (唏噓的高級伴讀書� 看板: Physics
: > 標  題: Re: [問題] 請問一題積分
: > 不是發散喔
: > 這類積分在統計力學裡面很常見
: > 這個值是sqrt(pi)/2*zeta(3/2)=2.31516
: 現在問這個可能有點遲，
: 不過可不可以請問一下，
: 這個值是怎麼算出來的呀？
: 是用什麼樣的技巧，為什麼會得出這個奇怪的解？

       1/2
   ∞ x    e^(-x)        ∞  1/2 ∞   -nx      ∞  ∞  1/2  -nx
= ∫ ------------- dx = ∫  x    Σ  e    dx = Σ ∫  x    e    dx
   0   1 - e^(-x)        0       n=1           n=1 0

                                       1/2        1/2    1/2   1/2
( Let z = nx，dz = ndx，dx = (1/n)dz，x    = (z/n)    = z   / n    )


  ∞  ∞  z^(1/2)   -z 1      ∞      1     ∞  1/2  -z
= Σ ∫  --------- e   - dz = Σ  ---------∫  z    e   dz
  n=1 0   n^(1/2)      n      n=1  n^(3/2)  0

  ∞      1     ∞  (3/2) - 1  -z
= Σ  ---------∫  z          e   dz
  n=1  n^(3/2)  0

= Zeta(3/2) Γ(3/2) = Zeta(3/2) (1/2)! =  (1/2) Zeta(3/2) (-1/2)!
    __
  √π
= ---- Zeta(3/2) ≒ 2.31516
    2

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◆ From: 140.122.225.109