看到m大用心的畫圖激起了想畫圖的慾望XD  所以我也來畫個圖好了

           B              如圖所見  三角形ABC是一個等腰直角三角形           
      F1  ╱╲  F2                                                          
     ↙ ╱    ╲ ↖       今天假如有一條彈簧繫在A點  今天將彈簧由A直接      
      ╱        ╲                                                          
    ╱            ╲      拉到C  其力的形式為 F=-kx (力的方向與位移相反)    
  A ———————— C                                                      
    ←——→←——→               位能形式為 U=（1/2）kx^2                 
                                                                            
                                   由3963篇的檢查條件可知此為保守力         

現在讓它走ABC這條路徑  令彈簧如果拉伸尚未過B點位移令為x1                   
                                                                           
如果超過B點則令位移為AB+x2  （x2指的是由B點到末端的伸長量）                
                                                                           
現在去分析力  可以知道在AB間力的方向如圖所示  此時狀況如同由A到C一般       
                                                                           
可見其保守性(連心力)  可是一旦超過B點後  其受力方向如圖所示(已非連心力)    
                                                                           
為什麼要上面要提連心力與非連心力主要的觀點在於我們對位能取-▽時            
                                                                           
所的到的形式有關  從-▽後的受力方向來看  可以觀察出若合乎保守力條件時      
                                                                           
彈簧受力會是連心力形式  可是你一旦限制它只能走ABC這條路徑時                
                                                                           
他的力形式就比較複雜了  分成兩段是不一樣的  在於空間中的方向不同           
                                                                           
自然在做向量積分時就會有所不同  這樣你了解了嗎^^                           

最後再討論一個狀況  那就是如果今天彈簧末端一樣走ABC這條路徑                
                                                                           
但是彈簧本身是自由不受限制的(上面的case會讓彈簧躺在三角形上)               
                                                                           
此時就可以算保守力了  因為它的受力方向已經是連心力形式了                   
                                                                           
更精確的來說是  經由分析可知道  他的受力關係與位能變化有這F=-▽Φ          
                                                                           
這樣的變化  最後積分出來就知道作工與路徑無關  只與起點終點有關             

最後附上最後例子的圖  畫的很醜XD  希望你看得懂

  �e�e 此乃彈簧末端
   �e
    �e
  �e   此乃彈簧末端受力方向
 ▄�e
    �e
  �e   此乃彈簧末端的運動路徑
                     B
                     �e
                    �e�e�e
                �e�e     �e
                  �e       �e
              �e             �e�e
           �e�e           ▄�e�e�e
          �e�e         �e▄      �e
        �e            ▄▄         �e
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