※ 引述《monmath (烽火狼煙血櫻飄殺)》之銘言：
: If [H, T]=0
: THT^-1=H
: 令tight binding function g(x,k)
: HT g(x,k)=H g(x+a,k)=H g(x,k)
: translational operator應該跟k無關吧= ="a
: 還是我又錯了XD
: 你說的E(k+G)=E(k)睡覺時想到在哪裡看過了
: 1. X-ray diffraction
: 2. Umklapp process

嗯... 這裡似乎是有點模糊了，不過我想說的是,
E(k)=E(k+G) 是對的。這是 single particle 在所謂 periodic potential 中
最典型的結果。考慮最簡單的一維 Tight binding: H = Σ t |n+1> <n| + h.c.
這裡|n> 是 localized在第n個site上的一個軌域。上述 Hamiltonian
則是描述電子從 n 跳到 n+1 的一個過程。

這個 Hamiltonian 的解很點單, 就是做傅立葉轉換:
|k> = Σ_n |n> exp(i*k*n) --->  H |k> = E(k) |k>.
其eigen-energy: E(k) = t*cos(k)。

在這裡我把 lattice constant a 設為 1，所以倒置晶格 G = 2*pi。
可以看出來，很顯然 E(k) = E(k+G)。

這是對固體能帶計算最好的出發點，真正模型中，在每一個 site-n
會有不只一個軌域。

那我們又要怎麼理解 almost free particle 在週期場中的行為呢?
很多重要的討論可在 Ashcroft 中找到。我想指出其中跟 E(k)=E(k+G)的關聯。

學過光學或波導的人，可能聽過所謂的 coupled mode theory，
這是用來處理傳播中的電磁波遇到光柵(grating)的行為。
這跟自由電子在微弱的週期場中的行為是類似的。
這裡方便起見，我們也看一維的 case。

一個週期為 a 的場(G=2*pi/a)，最顯然的一個效應就是把動量為 k
跟動量為 k+G 的自由電子給 couple 起來。所以最後的 eigenstate
會是 |k>，|k+G>，|k+2*G>，...，|k+n*G>，...的線性組合。
於是，討論一個 G 以外的 k 就沒有意義了，因為它們通通 couple
到某個 k<G。所以最後的 E(k) 只有對 |k|<G/2 是有意義的
(也就是在第一個 Brillouin zone (BZ) 內)。但注意到這個 coupling 會對某個在
1st BZ 內的k產生好幾個不同的eigenstae,
也就是 En(k) n=1,2,...。

若想要把 En(k) 的定義推到 1st BZ 外呢，
有兩個做法，一個就是對所有的 n，我們定義 En(k) = En(k+G)。
另一個就是 E1(k) 只定義在第一個BZ, E2(k)只定義在第二個 BZ，...and so on.
這就對應到兩種不同的 zone scheme了。

這個 E(k)=E(k+G) 的結果對 umklapp scattering 很重要，
但那又說來話長了。

PS 這些討論可能不夠清楚，有興趣的人可參考 Ashcroft & Mermin的書。
但這書中關於 tight-binding 的討論較真實點，所以也複雜點，
其精隨可參考 J.J.Sakurai 的 Modern Quantum Mechanics.

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