※ 引述《bisconect (隨便你叫)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: bisconect (隨便你叫) 看板: Math
: 標題: 請問要怎麼證明座標外積公式算出來的結果必符合右手定則?
: 時間: Tue May  1 00:39:08 2007
: 當向量座標化時,有個方便的公式可以讓我們快速算出兩個向量的外積:
: 若 A = < Xa,Ya,Za > , B = < Xb,Yb,Zb > , 則
:    A x B = < Ya*Zb-Yb*Za , Za*Xb-Zb*Xa , Xa*Yb-Xb*Ya >
A x B ≡ │i   j   k  │  可以化簡成上面那個公式
         │Xa  Xb  Xc │
         │Ya  Yb  Yc │

如此說來 外積方向是定義出來的也沒錯

因為如果有一個向量在三度空間中要垂直A、B

那麼這個向量就只有兩種方向 右手系或左手系

如果我們定義外積是右手系 定義外積的行列式就寫成上式

如果我們定義外積是左手系 那定義該行列式的下兩行對調就好了

行列式差一個負號 自然就變成左手系了

數學公式是配合需求產生的

這其中或許有更深層的涵義 要請數學高手來解釋了

: A x B 具有以下性質:
: 1.垂直A和B
:   這點只要把 (A x B) 和 A,B 各內積一下就可以輕易證出.
: 2.|A x B| = |A|*|B|*sinθ , θ為AB夾角
:   這點的證明也不算太困難,我就不寫了XD
: 3. A x B 的方向可由右手定則決定
:   這點的問題可就大了!!我高中時嘗試證了好幾個禮拜還是失敗 囧
: 我曾經po過某討論區問這問題,可是大家的回答都是:
: "外積的方向由右手定則決定是人為規定的!"
: 的確,在一種定義方式中,我們直接定義外積必須符合右手定則.可是用座標公式來定義外積
: 是另一種獨立自成的定義方法,而兩種方法殊途同歸.至於它們為何會殊途同歸呢?這絕對就
: 是必須證明的事情了!
: 如上我列出了第一種定義方式(直接定義外積向量的長度和方向)中提及的各項規定性質,並
: 且分別證明了第二種定義方式(座標外積公式)也會有一樣的結果,只差第三項我不知從何著
: 手......
: 雖然我沒有證明出座標外積公式永遠都會符合右手定則,但是目前為止我還沒有見過反例,
: 也沒有聽人說過用該公式運算出外積向量以後還要檢查一下它有沒有符合右手定則的,可見
: 大家都假設它"自然會符合右手定則".那麼,我們要怎麼證明這個假設呢?這就是我的問題.
: 有請數學達人開示,謝謝!
: (希望這次不會再有人回答我說"這是規定的"了 囧 那我真的不知道該怎麼解釋了......)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.228.85.23