※ 引述《pcboy0831 (在海灘上種花)》之銘言：
: ※ 引述《lanthanum (等待激發)》之銘言：
: : 學過微積分後，我們可以很簡單的算出三維球體體積。
: : 最後課本有提到，利用所學可以很簡單的推廣到n維球體體積。
: : 可是我想破頭也無法推導
: : 可否請版上高手教導解這體積問題的起手勢？
: : 這是我最近看到報導248維度時，閃過的問題�
: : (如果有人覺得這不是物理問題，我自刪。)
: : --------------------------------------------------------------------------
: : 關於那個248維度的報導：
: : http://tw.news.yahoo.com/article/url/d/a/070320/19/bsjh.html　(Yahoo新聞)
:   歸納成為幾個假設
:   1. n維的球方程式為 (N1)^2 + (N2)^2 + ... + (Nn)^2 = (Rn)^2
:   2. 每新增一個維度就增加一個座標 Ni 且座標彼此之間unit vector內積為零
:   3. 每新增一個維度就是, 以前一個維度的體積方程式向新增的變數做積分
:   n維球體積為 Vn(Rn) , Rn 為半徑
:   一維 : 根據(1)新增維度x
:          方程式為 x^2 = (R1)^2
:          延著x積分
:           R1
:          ∫dx = 2(R1) , V1(R1) = 2(R1)
:          -R1
:   二維 : 根據(1)新增維度y
:          方程式為 (R1)^2 + y^2 = (R2)^2
:                           R1 = √((R2)^2 - y^2)
:          前一維度的體積方程式延著y積分
:           R2             R2           R2
:          ∫V1(R1) dy  = ∫2(R1) dy = ∫2√((R2)^2 - y^2)dy
:          -R2            -R2          -R2
:                                    = π(R2)^2
:           V2(R2) = π(R2)^2
:   三維 : 根據(1)新增維度z
:          方程式為 (R2)^2 + z^2 = (R3)^2
:                            R2 = √((R3)^2 - z^2)
:          前一維度的體積方程式延著z積分
:           R3            R3              R3
:          ∫V2(R2) dz = ∫π(R2)^2 dz = ∫π((R3)^2 - z^2)dz
:          -R3           -R3             -R3
:                                      = (4/3)π(R3)^3
:   四維 : 根據(1)新增維度q
:          方程式為 (R3)^2 + q^2 = (R4)^2
:                            R3 = √((R4)^2 - q^2)
:          前一維度的體積方程式延著q積分
:           R4
:          ∫V3(R3) dq = (1/2)(π^2)((R4)^4)
:          -R4
:   n維的同理, 可以歸納出來
在下有另外一個方法：
從唯度看，n維球形的表面積跟半徑n-1次方成比例：
S_n(r) = k_n * r^(n-1)，我們要決定k_n:
  高斯積分：（以下x積分從-∞到+∞,r積分0→＋∞）
√π＝∫e^(-x^2)dx
  把n個一維高斯變成一個n維高斯：
π^(n/2)
= (∫e^(-x^2)dx)^n
=∫e^(-r^2) d^nr
  運用表面積公式：
=∫e^(-r^2) S_n(r) dr
= k_n ∫e^(-r^2) r^(n-1) dr
  by part:
= 2 k_n / n ∫r^(n+1) e^(-r^2) dr
  變換：ρ=r^2 dr=dρ/2√ρ
＝k_n / n ∫ρ^(n/2) e^(-ρ)dρ
= k_n / n Gamma(n/2+1)
  ∴
k_n = n π^(n/2) /Gamma(n/2+1)

S_n = π^(n/2)/Gamma(n/2+1) n r^(n-1)
V_n = π^(n/2)/Gamma(n/2+1) r^n

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