※ 引述《lanthanum (等待激發)》之銘言：
: 學過微積分後，我們可以很簡單的算出三維球體體積。
: 最後課本有提到，利用所學可以很簡單的推廣到n維球體體積。
: 可是我想破頭也無法推導
: 可否請版上高手教導解這體積問題的起手勢？
: 這是我最近看到報導248維度時，閃過的問題�
: (如果有人覺得這不是物理問題，我自刪。)
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: 關於那個248維度的報導：
: http://tw.news.yahoo.com/article/url/d/a/070320/19/bsjh.html　(Yahoo新聞)


  歸納成為幾個假設

  1. n維的球方程式為 (N1)^2 + (N2)^2 + ... + (Nn)^2 = (Rn)^2

  2. 每新增一個維度就增加一個座標 Ni 且座標彼此之間unit vector內積為零

  3. 每新增一個維度就是, 以前一個維度的體積方程式向新增的變數做積分

  n維球體積為 Vn(Rn) , Rn 為半徑

  一維 : 根據(1)新增維度x

         方程式為 x^2 = (R1)^2

         延著x積分

          R1
         ∫dx = 2(R1) , V1(R1) = 2(R1)
         -R1

  二維 : 根據(1)新增維度y

         方程式為 (R1)^2 + y^2 = (R2)^2

                          R1 = √((R2)^2 - y^2)

         前一維度的體積方程式延著y積分

          R2             R2           R2
         ∫V1(R1) dy  = ∫2(R1) dy = ∫2√((R2)^2 - y^2)dy
         -R2            -R2          -R2

                                   = π(R2)^2

          V2(R2) = π(R2)^2

  三維 : 根據(1)新增維度z

         方程式為 (R2)^2 + z^2 = (R3)^2

                           R2 = √((R3)^2 - z^2)

         前一維度的體積方程式延著z積分

          R3            R3              R3
         ∫V2(R2) dz = ∫π(R2)^2 dz = ∫π((R3)^2 - z^2)dz
         -R3           -R3             -R3

                                     = (4/3)π(R3)^3

  四維 : 根據(1)新增維度q

         方程式為 (R3)^2 + q^2 = (R4)^2

                           R3 = √((R4)^2 - q^2)

         前一維度的體積方程式延著q積分

          R4
         ∫V3(R3) dq = (1/2)(π^2)((R4)^4)
         -R4


  n維的同理, 可以歸納出來

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僅供參考

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