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==> 在 pennyleo.bbs@bbs.badcow.com.tw (我是個完蛋的� 的文章中提到:
> work的定義是
> Sf(ds)
> S是積分符號
> f和ds都是向量
> 這是大家耳熟能響的
> 我想問
> 我可不可以把work寫成
> Sd(f dot s)
> f和s是向量
> dot指的是內積運算
> 我知道這兩個式子是不相同的
> 好,那麼...我想知道我什麼地方概念錯了

你的觀念不太對, 功是力乘上這個力所經過的位移。
所以只有 f.ds 而沒有 d(f.s) 這樣的觀念。
如果你了解上面所說, 那麼下面數學推導就很容易了。

以下 * 代表純數的乘法, . 代表向量積, integ() 是積分。

在一維的觀念下, W=F*S
細分下去看, 就是 f*ds, 然後積分起來, 就是 integ(f*ds)
上面是f 和 s 同向或反向, 也就是說只有一個維度. f 可以是
純量也可以是 s 的函數。

如果不同向就要用向量來做, 比如在二維平面上.
dW 仍然根據定義為: dW=f.ds
s 可能是任意曲線, 為了方便描述，就要把 s 函數化。
我們引進 t 變數:
s(t) = u(t)i + v(t)j , i,j 是 x,y 軸向量。
同樣地, 我們也把 f 用向量表示:
f(t) = g(t)i + h(t)j

那麼, f 在 s 曲線上所做的微小的功可如下表示:
dW = f.ds

ds 是什麼意思? 就是一小段的 s 的意思, 但是現在我們已把
f,s 一維化了 (因為引進 t 變數), 所以我們用 t 來表示:
     ds
ds= ---- * dt= s'(t)dt
     dt
則
dW = f(t).s'(t) dt
s'(t) 是切線向量，直觀上可解釋為切線速度。
上面意義就是在 t 時的切線速度行經 dt 時間的距離下
所做的功。

當然，整段的功就是:
W=integ(f(t).s'(t) dt)
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