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Origin: sally.csie.ntu.edu.tw

※ 引述《pipidog (如果狗狗飛上天)》之銘言：
: ※ 引述《hokato (hokato)》之銘言：
: : 自旋子或向量是用在時空旋轉/boost下的行為定義，一般講的是這種東西
: :                       向量           Spinor    非相對論框架的自旋
: : 三度空間旋轉          SO(3)    --<   SU(2)  <--Pauli Spinor
: : 四維時空Lorentz群     SO(3,1)  --<   SL(2,C) ~ SU(2)xSU(2)  <--Dirac Spinor
: : 歷史上當然Pauli的自旋比Dirac的早一點
: : 不過這個當然不是2000年推出來的新東西
: : 這麼古老的東西有新推導或詮釋的話實在很神秘......？
: 題外話,順便殺進來一下.
: 現在大家都在追溯起了最古早的SU(2)這樣...既然要談神秘,
: 我得從量子力學引進SU(2)可能還談不上神秘,至少那還是量子
: 進到量子,我覺得最神秘的應該是從古典到量子的數學形式怎
: 麼會一路的對應過來讓人不解.因為SU(2)早在古典力學的時
: 候就一直是被用來處理剛體轉動的數學啊.很難想像一開始把
: SO(3)-->SU(2)的時候居然是在算剛體轉動,怎麼這剛好,原封
: 不動的搬過來就成了spin.
因為轉動的數學已經被很完整的包括在Clifford Algebra裡面了
Clifford algebra裡面有一個群叫 Spin group Spin(n) 正是
SO(n) 的 Universal covering group
為什麼需要 Univ. covering group? 因為 SO(n)不是 simply connected
所以你不能用 Exp 來傳 Lie algebra of SO(n) 到 SO(n)
因此你要一個大一點的group 包含 SO(n) 然後是 simply connected
這就是Spin group
而剛剛好 Spin(3) (univ. covering of SO(3)) 就是SU(2)

在古典力學裡 很早人家就知道有我們所謂的 half-integer representation
from SU(2) 但這些相對於 2pi 轉動 --> -1
所以古人就想說這些不physical 可以不算
就像古典計算中可以把一些負能量的解直接丟掉
但在量力中不行 因為要保持 completeness relation
所以half-integer representaion就在量力中得到物理意義




: 從古典的Hamiltonian對應到量子的H,從古典的正則變換對應到
: 量子的不對易,從古典的Langrangian應到路徑積分.
: 現在要談SU(2),我覺得最奇怪的是用來描述spin的數學其實在
: 之前就被Cayley-Klein拿來處理古典的剛體轉動的標準語言.
: 應該唸過Goldstein的人都會對這段感到大為震撼才是.
: 雖然這是題外話,可是我始終搞不清為什麼量子力學裡面的語言
: ,數學,觀念,統統在古典的時候就被拿來用了.
: 但是反過來問,如果一直只有F=ma,沒有後來的人去把F=ma搞出
: 一堆這麼複雜的公理化.似乎很多量子力學的東西統統要不見了.
: 不過這是題外話了...歷史的發展似乎總是令人意外.古典跟量子
: 有這麼多本質上得不同,但為什麼量子的數學形式跟語言會跟古
: 點對應的這麼完美.站在這個觀點來看,好像又不得不把牛頓定律
: 拿出來在拜一拜了 @@~

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