轉信站: GIBBS!ccnews.ncku!news.ccns.ncku!news.mksh.phc!news.nsysu!ctu-gate!ctu-
Origin: sally.csie.ntu.edu.tw

: :  2.螺線管的問題
: :                 B = 0
: :                      L
: :                --------
: :                |      |
: :         ooooooo|oooooo|ooooooooooooo
: :                |------|
: :                 B------>
: :         xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
: :    請問一下為什麼線圈外不會有磁場呢??
: :    煩請物理高手幫我解答一下

這個上電磁學的時候曾經跟老師討論過
當然如果先導出Biot-Savart Law 就很簡單，因為可以用積分做或者先看出磁場方向
再用安培定律做
不過完全從對稱的角度應該也是可以看得出來的

我後來整理了一下覺得這樣的討論比較有完整的說服力：
為了方便起見，以下用柱坐標描述，線圈長軸的方向的坐標為z(向右為正)，徑向為r
假設在線圈內部或外部某一點的磁場具有三個分量B_z,B_r,B_θ

1.
首先考慮B_θ
因為線圈具有沿著z軸旋轉的對稱性
所以B_θ與θ無關
對繞z軸一圈的迴路取環場積 = 2πr B_θ(r,z)
但是通過迴路的電流為0
因此B_θ = 0

這個結論對於有限長線圈及線圈內部皆適用

2.
考慮B_r
對無限長線圈，具有平移的對稱性
因此磁場與z無關，又前面已經說過與θ無關

        ↑↑↑↑↑↑↑↑

   oooooooooooooooooooooooooooooo

   xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

        ↓↓↓↓↓↓↓↓

假設B_r(r)為向外，如圖所示

則把線圈整個轉180度(不是沿z軸喔)
就變成
       ↑↑↑↑↑↑↑↑

  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

  ooooooooooooooooooooooooooooooo

       ↓↓↓↓↓↓↓↓

但是如果不轉線圈，而是把電流反接的話，由Maxwell方程式，磁場應該反向
變成
       ↓↓↓↓↓↓↓↓

  xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

  oooooooooooooooooooooooooooo

       ↑↑↑↑↑↑↑↑

除非B_r = 0，否則與上面矛盾

這個結論只對無限長線圈適用(內部外部都適用)
因為有線長線圈的B_z分布可能是下面這樣
   ↑↑↑ ↓↓↓
   xxxxxxxxxxxxxx

   oooooooooooooo
   ↓↓↓ ↑↑↑
只有正中間的B_z為零
自己轉看看，這樣就不會有上面的矛盾

3.
對於無限長線圈，上面已經說明B_r為零
因此取一個這樣的迴路
    __
    | |
    |_| A   ___
 ooooooooooo|oo|o
     _      |__| C
    |_| B


 xxxxxxxxxxxxxx

不管是迴路A還是迴路B
環場積都要是0
因為B_r為零，因此回路側面的環場積貢獻為0
很容易看出在內部和外部的B_z分別為一定值(與r無關)
而由迴路C可以看出內部和外部的B_z相差μ_0 n i

  設外部B_z = B'
    內部B_z = B' + μ_0 n i

現在把i ->  - i
    外部還是 B_z = B'
    內部則是 B_z = B' - μ_0 n i

假設這個線圈是空間中唯一的電流的話
那麼電流相反磁場也要相反
    因此 B' = 0

最後這個結果僅適用於無限長的線圈(因為用到了B_r = 0)

以上的討論中用到的對稱性有
無線長線圈沿z軸的平移對稱性
沿z軸的旋轉對稱性
還有電流倒流，磁場相反(老師好像說這叫做時間反衍對稱性)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.213.158
※ 編輯: mantour         來自: 140.112.213.158      (02/02 00:21)
→ mantour:有錯請指正 謝謝                                         02/02 00:21
推 feynman511:第2點不是都在說B_r嗎?怎麼最後會有B_z?                02/02 00:33
→ feynman511:還有μ_0 n i的推導不就是已知線圈外部磁場為零了嗎?    02/02 00:34