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Origin: sally.csie.ntu.edu.tw

※ 引述《marvericke (放假....)》之銘言：
: 請問一下各位高手
: 我看書上常常寫有關多質點的問題
: 然後就從系統的質心出發
: 可是有些書就會在提到總動能等於內動能加質心動能

這個東西以高中以上的程度應該就有能力自己驗證看看

給你一點提示

總動能 = 1/2m_1 v_1^2 + 1/2m_2 v_2^2 + ....

       = 1/2m_1(v_1-v_c)^2 + 1/2m_2(v_2-v_c)^2...
         +  (m_1 v_1 + m_2 v_2 + ...) * v_c
         -  1/2 (m_1 + m_2 + ...) * v_c^2

其中 m_1v_1 + m_2v_2 + ... = (m_1 + m_2 +...) v_c   (由質心的定義)

所以整理即得

總動能 = 1/2 m_1 (v_1 - v_c)^2 + ...  (內動能)
        + 1/2 M v_c ^2  (質心動能)

其實比較重要的是它代表的意義
質心動能是把整個系統當作一個質點
也就是不計其內部運動時所具的動能
內動能則是內部相對運動的動能
這是說我們常常可以把運動分成兩個部份來看
前者是整體的運動，以質心速度作代表
後者是系統內部的相對運動
這樣分主要的目的在於
系統整體的運動往往可以透過適當的選擇坐標來抵消它
比如說，選擇質心坐標為參考坐標時，系統的質心動能就等於0
這樣我們只要對付內部的相對運動就好了，而達到簡化問題的目的

另外一個重要的(而且可能和你現在在讀的東西比較相關的)性質是
內力不會改變質心的運動
因而當系統不受外力(或所受合力為0)時，系統的質心速度不變(動量守衡)
從而質心動能也不變

比如說

球    v       彈簧  球
[A]  ->     ^^^^^^^^[B]

以球A撞擊B，不計一切損耗，過程中彈簧最大的收縮量是多少

這顯然是個動能轉變成位能的例子
但是如果我們把這裡的動能分成上述的兩個部份，就會發現
因為動量守恆，所以質心動能不變
會轉變成內部的位能的只有內動能的部份

又比如

一顆球由靜止炸裂成質量分別為m_1 m_2 m_3的三塊
爆炸產生的能量固定為E，三塊可能分別朝各種方向飛散
想知道質量為m_1的那一塊所可能獲得的最大動能為多少？

如果要直接計算這個三體碰撞實在是有點複雜
但是我們有興趣的只有m_1
所以不妨先考慮把它當作
 m_2 m_3 的質心 和 m_1 所組成的二體問題

能量守恆就寫成

m_1的動能  + m_2 m_3的質心動能  = E - m_2 m_3的內動能 = E'

二體問題中，能量的分配比例是固定的，因此實際上決定m_1所分到的動能的是E'
也就是m_2 m_3的內動能要越小越好
於是我們就得到結論：當m_2 m_3沒有相對運動時，m_1所獲得的動能最大


以上這兩個例子看起來不是很實際
不過它們分別可以對應到碰撞的底限能量或粒子分裂的問題
只是到時候我們得用相對論的能量與動量關係去計算
不過基本概念是相同的

把這些東西拿出來講主要是想引起你的興趣
還請板上的強者別見笑:P

其實質心的概念在力學中還有不少好用的地方
類似的關係像是
對參考點O的總角動量 = 質心對參考點O的角動量 + 對質心的角動量
reduced mass
都可以翻翻力學的書，先知道一下


: 在有關碰撞的問題中接著就有一堆題目 還有有關能量轉移的問題
: 部過我去查了幾本普物的書好像都沒有類似的東西
: 不知道有大大可以大概解釋一下嗎???
: 或者我開去哪找相關的書籍 有完整說明的!!
: 謝謝

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