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Origin: sally.csie.ntu.edu.tw


對|ψ>物理態而言　物理量Ａ的期望值是<ψ|Ａ|ψ>　
這是量子力學基本假設
此期望值是與選哪個基底沒有關係

如果寫出density operator與物理量的關係就更清楚了
<A>=Tr(ρA)  其中  ρ=|ψ><ψ|
Trace在座標轉換下是一個守恆量
因此基底如何選取並不會影響到物理量的期望值

※ 引述《caseypie (期待未來)》之銘言：
: ※ 引述《biglion (我愛美人魚)》之銘言：
: : 我覺得你的看法是不對的
: : 我指出我認為有問題的地方
: : １、<ψ|Ｐ|ψ>是我們對 |ψ> 做大量量測所得到的期望值
: :     若是只做一次量測，則是得到Ｐ的特徵值，並且結果是機率分布
: :     並非您所謂的以ψ作為基底，ψ只有一個如何作為基底
: ψ是一組,不是一個
: ψ是P所在的向量空間當中的一組基底

很抱歉我必須再跟你說一次　這個說法是錯誤的
如果你說的是對的　那這個期望值不就只跟基底有關　和物理態無關？

即使是在海森堡picture下  即物理系統的資訊放在operator內
<P(t)> = <ψ(0)|Ｐ(t)|ψ(0)>     |ψ(0)>仍為初始態而非基底
再強調一下  基底與期望值無關  所以不會出現在式子裡

: : ２、測不準原理絕非先量測Ａ再量測Ｂ所導致的不準
: :     其實是分別量測　<A>、<A^2>、<B>、<B^2>
: :     由這四個物理量可得到標準偏差σA及σB
: :     這兩個標準偏差即會滿足 σA*σB≧|<[A,B]>|/2  推導請見各量子力學書籍
: [A,B] = AB-BA ; [x,P] = i(h_bar)
: 我要說的就是這個
: 你說的標準差主要還是從波動力學的角度切入
: 計算∫Ψ*xΨdx,∫Ψ*(x^2)Ψdx,∫Ψ*(-ih_bar)(dΨ/dx)dx,
: ∫Ψ*(-(h_bar^2))(d^2Ψ/dx^2)dx
: 但是如果從這個角度來看,那何必再定義一個[x,P] = xP-Px ?
: 再者,<ψ|xP|ψ>和<ψ|Px|ψ>又表示什麼意思?
: 我承認我是無法理解上面三條式子在物理上的涵義為何
: 所以我目前是用這種方式在理解
: 若b大已有這些問題的答案,懇請不吝賜教
: 不然,這一切難道只是數學遊戲?

其實我沒有從波動力學角度切入  我只是從定義出發再用線性代數的觀念罷了
定義commutator的目的就是用的到  我不知道你希望知道的是什麼
但是有一個重要的結果就是 兩個矩陣若對易 則有相同的eigenvector
如果從spectrum decomposition來看這件事就十分清楚

至於<AB>或<BA>的意義是什麼  恕我寡聞  我也不知道這兩項單獨存在時有什麼意義

: :     簡單的說 假設我們擁有無窮多個相同的態 每個態都是量測過一次後就丟棄
: :     並且假設量測都沒有實驗誤差  則可以精確的量出<A>、<A^2>、<B>、<B^2>
: :     則測不準原理成立
: : ３、至於您的線性代數，我覺得你可能要再回去仔細看量子力學的書
: :     我個人了解<ψ|Ａ|ψ>的方式  是先對Ａ做spectrum decomposition
: : 　　也就是 Ａ=Σan|φn><φn| ，an、|φn>是A的eigenvalues and vectors
: :     這個理解的方式是比較正確的
: 恩...那麼要如何解釋這個動作的物理涵義?

可以把spectrum decomposition想成純粹的數學定理
方便思考罷了
也就是將每個eigenspace分出來看

: 更確切的說,為何<ψ|P|ψ> = p ?
: 算符,波函數以及實際觀測到的物理量之間的關係是?

<A>=<ψ|A|ψ>  是量子力學基本假設
每本書對量子力學基本假設的說法不一樣
但至少這是可以從基本假設得知的一件事
換句話說就是沒有為什麼

其實我整篇都沒用到太難的數學  只有線性代數罷了
我覺得量子力學只要把線代念好就夠用了

剩下的就是基本假設的哲學意涵  這留給後代去討論囉
至少到目前為止這些基本假設所建構出來的量子力學沒有出問題

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