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             SciScape 新聞 (http://leos.bu.edu/)   
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[Sep 21, 00] Lorenz吸引子確實存在

將近四十年來,Lorenz吸引子（暫譯,attractor)一直是現代非線性動力學的典型象徵,不只因為它有趣的雙分裂形狀,更因為它是混沌動力學中具有秩序的代表.問題是,它真正存在嗎?
一直以來,數學家缺乏由電腦數值近似模擬產生的Lorenz方程式解的嚴格證明,也不能證明它的動力學是實際具有混沌現象.因為Lorenz方程式對於初始條件非常敏感,只要起始條件有一點點不同,便會隨著時間的演進而指數地放大,這就是混沌系統中不能預期的特性.相反地,在Lorenz系統中也有"秩序",方程式的數值解,在三維空間中會產生Lorentz吸引子,一群環繞兩平板平面的無限曲線.
電腦模擬計算顯示出的類似混沌現象,可能只是數值假象而已.由於數值模擬是一種近似,而此混沌系統對於近似非常敏感,正如一般所知,數值模擬有時會產生非常嚴重的誤導.直到去年,Uppsala大學的Warwick Tucker在他的博士論文中才證明Lorenz方程式的確具有嚴格的混沌吸引子解.
Tucker的研究具有非常大的意義,不只提供Lorenz吸引子一個穩固的理論基礎,而他所使用的技巧也將被廣泛地應用.首先是我們所知道的嚴格解和由數值模擬所產生非線性動力系統間的鴻溝變小了,此外Tucker的技巧更可以由常處理的三維空間延伸到高維空間,例如包含地球,火星和探測船的三體系統動力學問題,其中各包含了位置和速度三個維度,總共是18個維度.
Tucker所使用的證明技巧包含了兩部份,"奇異雙曲線(singular hyperbolicity)"[1]概念和利用"歸一形式(normal form)"的嚴格證明方法來使用電腦計算建立微分方程式解的幾何特色,一般的數值模擬加上精確的誤差估計[2].
撇開數學技巧,這裡的主要精神是,只要仔細估計誤差,數值模擬也可以建立出非線性微分方程的流程特點.因此動力系統理論學家將可以不需要擔心是否他們大部分的論點將是錯誤的.
[1]C.R.Acad.Sci,.326,81-86;1998
[2]W.Tucker, C.R.Acad.Sci.328,1197-1202;1999

--摘譯自:
Nature 31 August 2000
<http://www.nature.com>

 -- 責任編輯: 瑞光 <rklee@ndl.gov.tw>